统计力学 第5次作业

Chasse_neige

6.6 设系统含有两种粒子, 其粒子数分别为 $N$ 和 $N^{\prime }$, 粒子间的相互作用很弱, 可以看作是近独立的, 试计算平衡状态下两种粒子的最概然分布（分别就三种情况进行计算：经典粒子，玻色子，费米子）。并根据热力学第零定律讨论分布中的什么参数和温度对应。

设第一种粒子的能级为 ${\epsilon }_l$，简并度为 ${\omega }_l$；第二种粒子的能级为 ${\epsilon }_m^{\prime }$，简并度为 ${\omega }_m^{\prime }$。分布记为 $\{a_l\}$ 和 $\{a_m^{\prime }\}$，满足约束

$$\sum _l{a}_l=N,\sum _m{a}_m^{\prime }=N^{\prime },\sum _l{\epsilon }_l{a}_l+\sum _m{\epsilon }_m^{\prime }{a}_m^{\prime }=E$$

通过最大化总微观状态数 $\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2$（或总熵 $S=k\ln \mathrm{\Omega }$），引入拉格朗日乘子 $\alpha ,{\alpha }^{\prime },\beta$，可得最概然分布。

经典粒子

经典粒子服从玻尔兹曼统计，微观状态数为

$$W_1=N!\prod _l\frac{{\omega }_l^{a_l}}{a_l!},W_2=N^{\prime }!\prod _m\frac{{\omega }_m^{\prime a_m^{\prime }}}{a_m^{\prime }!}$$

最大化 $\ln W_1+\ln W_2$，得到分布

$$a_l={\omega }_l{e}^{-\alpha -\beta {\epsilon }_l},a_m^{\prime }={\omega }_m^{\prime }{e}^{-{\alpha }^{\prime }-\beta {\epsilon }_m^{\prime }}$$

其中 $\alpha ,{\alpha }^{\prime }$ 由粒子数 $N,N^{\prime }$ 确定，$\beta$ 为公共参数。

玻色子

玻色子服从玻色-爱因斯坦统计，微观状态数为

$$W_1=\prod _l\frac{({\omega }_l+a_l-1)!}{a_l!({\omega }_l-1)!}\approx \prod _l\frac{({\omega }_l+a_l)!}{a_l!{\omega }_l!},W_2\approx \prod _m\frac{({\omega }_m^{\prime }+a_m^{\prime })!}{a_m^{\prime }!{\omega }_m^{\prime }!}$$

最大化后得分布

$$a_l=\frac{{\omega }_l}{e^{\alpha +\beta {\epsilon }_l}-1},a_m^{\prime }=\frac{{\omega }_m^{\prime }}{e^{{\alpha }^{\prime }+\beta {\epsilon }_m^{\prime }}-1}$$

其中 $\alpha ,{\alpha }^{\prime }$ 由粒子数确定，$\beta$ 公共。

费米子

费米子服从费米-狄拉克统计，微观状态数为

$$W_1=\prod _l\frac{{\omega }_l!}{a_l!({\omega }_l-a_l)!},W_2=\prod _m\frac{{\omega }_m^{\prime }!}{a_m^{\prime }!({\omega }_m^{\prime }-a_m^{\prime })!}$$

最大化后得分布

$$a_l=\frac{{\omega }_l}{e^{\alpha +\beta {\epsilon }_l}+1},a_m^{\prime }=\frac{{\omega }_m^{\prime }}{e^{{\alpha }^{\prime }+\beta {\epsilon }_m^{\prime }}+1}$$

其中 $\alpha ,{\alpha }^{\prime }$ 由粒子数确定，$\beta$ 公共。热力学第零定律指出：处于热平衡的系统具有相同的温度。在上述分布中，拉格朗日乘子 $\beta$ 对两种粒子相同，所以和温度对应。

6.2 试证明对于一维自由粒子，在长度 $L$ 内，$\epsilon$ 到 $\epsilon +d\epsilon$ 的能量范围内，量子态数为

$$\mathrm{D}(\epsilon )d\epsilon =\frac{2L}{h}{\left(\frac{m}{2\epsilon }\right)}^{1/2}{\mathrm{d}}^{}\epsilon$$

对于一维自由粒子，在周期性边界条件下动量量子化满足

$$k_n=\frac{2\pi }{L}n$$

对应的能量是

$$E_n=\frac{{\hslash }^2{k}_n^2}{2m}=\frac{n^2{h}^2}{2m{L}^2}$$

此时在能量间隙之间，状态数为

$$D(\epsilon ){\mathrm{d}}^{}\epsilon =2\cdot \frac{m{L}^2}{h^2}\sqrt{\frac{h^2}{2m\epsilon L^2}}{\mathrm{d}}^{}\epsilon =\frac{2L}{h}\sqrt{\frac{m}{2\epsilon }}{\mathrm{d}}^{}\epsilon$$

其中因子 $2$ 来自两个方向的行波态。

6.3 试证明对于二维自由粒子，在长度 $L^2$ 内，$\epsilon$ 到 $\epsilon +d\epsilon$ 的能量范围内，量子态数为

$$\mathrm{D}(\epsilon ){\mathrm{d}}^{}\epsilon =\frac{2\pi L^2}{h^2}m{\mathrm{d}}^{}\epsilon$$

此时周期性边界条件带来的动量量子化是

$$k_x=\frac{2\pi }{L}{n}_x,k_y=\frac{2\pi }{L}{n}_y$$

对应的能量是

$$E=\frac{h^2}{2m{L}^2}(n_x^2+n_y^2)$$

等能面为球面，所以单位能量对应的量子态数为

$$D(\epsilon ){\mathrm{d}}^{}\epsilon =L^2\frac{2\pi p{\mathrm{d}}^{}p}{h^2}=\frac{2\pi L^2}{h^2}m{\mathrm{d}}^{}ϵ$$

6.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为 $\epsilon =cp$, 试求在体积 $V$ 内，$\epsilon$ 到 $\epsilon +{\mathrm{d}}^{}\epsilon$ 的能量范围内三维粒子的量子态数。

此时等能面仍然为球面，所以量子态数依旧可以表示为

$$D(\epsilon ){\mathrm{d}}^{}\epsilon =V\frac{4\pi p^2{\mathrm{d}}^{}p}{h^3}=V\frac{4\pi }{h^3{c}^3}{\epsilon }^2{\mathrm{d}}^{}\epsilon$$